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공통수학 문제 분석 및 풀이
주어진 다항식:
\[ \left( nx^n + (n+1)x + 1 \right)^2 \]
을 전개하여 서로 다른 항의 개수가 5개가 되도록 하는 \(n\)을 찾고, 최고차항의 계수 \(a\)와 차수 \(b\)를 구한 후 \(a + b\)를 계산하는 문제입니다.
1. 다항식 전개
주어진 다항식을 제곱하면:
\[ \left( nx^n + (n+1)x + 1 \right)^2 \]
2. 이항 전개 공식 사용
이항 전개 공식을 이용하면:
\[ (A + B + C)^2 = A^2 + 2AB + 2AC + B^2 + 2BC + C^2 \]
각 항을 전개하면:
\[ (nx^n)^2 = n^2 x^{2n} \]
\[ 2(nx^n)((n+1)x) = 2n(n+1)x^{n+1} \]
\[ 2(nx^n)(1) = 2nx^n \]
\[ ((n+1)x)^2 = (n+1)^2 x^2 \]
\[ 2((n+1)x)(1) = 2(n+1)x \]
\[ 1^2 = 1 \]
따라서, 전개된 다항식은 다음과 같습니다:
\[ n^2 x^{2n} + 2n(n+1)x^{n+1} + 2nx^n + (n+1)^2 x^2 + 2(n+1)x + 1 \]
3. 서로 다른 항의 개수가 5개
서로 다른 항의 개수가 5개가 되려면, 한 항이 사라져야 합니다.
이를 만족하는 최소 자연수 \( n = 2 \)를 대입하면:
\[ 2(2+1)x^3 = 6x^3 \]
\[ 2(2)x^2 = 4x^2 \]
즉, 서로 다른 항이 5개만 남게 됩니다.
4. 최고차항 계수 및 차수
최고차항은 \( n^2 x^{2n} \) 이므로:
\[ a = n^2 = 2^2 = 4 \]
\[ b = 2n = 4 \]
따라서:
\[ a + b = 4 + 4 = 8 \]
5. 정답
정답: ① 8 ✅