수학풀이 수2 문제풀이

 

수학문제 풀이 과정

주어진 함수 \( f(x) \) 가 주어졌고, \( f(x) f(-x) \) 가 \( x = c \) 에서만 불연속일 때, \( a + b + c \) 값을 구하는 문제입니다.

 

1. 함수 연속성 확인

주어진 함수: \[ f(x) = \begin{cases} x + 4 & (x < -2) \\ (x+1)^2 & (-2 \leq x < a-2) \\ -2x + b & (x \geq a-2) \end{cases} \]

(1) \( x = -2 \) 에서 연속성 확인

좌극한: \[ \lim_{x \to -2^-} f(x) = (-2) + 4 = 2 \] 우극한: \[ \lim_{x \to -2^+} f(x) = (-2+1)^2 = (-1)^2 = 1 \] 이므로, \( 2 \neq 1 \) 이 되어 **불연속**.

(2) \( x = a-2 \) 에서 연속성 확인

좌극한: \[ \lim_{x \to (a-2)^-} f(x) = (a-2+1)^2 = (a-1)^2 \] 우극한: \[ \lim_{x \to (a-2)^+} f(x) = -2(a-2) + b = -2a + 4 + b \] 연속 조건에 의해 \[ (a-1)^2 = -2a + 4 + b \]

 

 

2. \( f(x) f(-x) \)의 불연속성

\( f(x) f(-x) \) 가 **오직 \( x = c \) 에서만 불연속**이어야 하므로, 함수 \( f(x) \) 가 **불연속인 점이 \( x = -2 \) 에서만 존재해야 함**.

 

 

 

3. 값 찾기

\( c = -2 \) 이고, \( a, b \) 값을 구하기 위해 위의 식을 활용합니다.

\[ (3-1)^2 = -2(3) + 4 + b \] \[ 4 = -6 + 4 + b \] \[ 4 = -2 + b \] \[ b = 6 \]

따라서, \( a + b + c = 3 + 6 + (-2) = 7 \).

 

 

 

정답: \( \boxed{7} \)