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수학 문제 풀이 설명
고민하시는 부분을 풀어서 설명해드릴게요! 😊
문제에서 다루는 개념
우리가 다루는 식은 다음과 같습니다.
\[ \left( \sqrt[3]{3^5} \right)^{\frac{1}{2}} \]
이를 지수법칙을 사용해서 변형하면,
\[ \left( 3^{\frac{5}{3}} \right)^{\frac{1}{2}} \]
지수의 거듭제곱 법칙 \(\left( a^m \right)^n = a^{m \cdot n} \)을 적용하면,
\[ 3^{\left(\frac{5}{3} \times \frac{1}{2} \right)} \]
즉,
\[ 3^{\frac{5}{6}} \]
왜 초록색 글씨처럼 안 되는가?
초록색 글씨에서는 \(\frac{5}{6}\)을 \(\frac{5}{n}\)으로 바꾸려 하셨는데, 그렇게 하면 \(n\)이 자유롭게 변할 수 있게 되어버립니다.
하지만 문제의 요구 사항을 보면, 주어진 수가 어떤 자연수의 \(n\)제곱근이 되어야 합니다. 즉, 우리가 찾는 것은
\[ x^n = a \]
을 만족하는 자연수 \(x, a, n\)입니다.
우리는 이미
\[ 3^{\frac{5}{6}} \]
라는 표현을 얻었으므로, 이것이 어떤 자연수 \(a\)의 \(n\)제곱근이 되려면,
\[ 3^{\frac{5}{6} n} = a \]
이 되어야 하고, \(a\)가 자연수가 되려면 \(\frac{5}{6} n\)이 자연수여야 합니다.
즉,
\[ \frac{5}{6} n = k \quad (k는 자연수) \]
따라서,
\[ n = \frac{6k}{5} \]
여기서 \(n\)이 자연수여야 하므로, 6k가 5의 배수여야 합니다.
이제 \(2 \leq n \leq 100\) 범위에서 가능한 값을 찾는 것이 핵심이죠! 😊
이해가 되셨나요?
수학문제 알면 쉬워요^^